Взаимосвязь математики с другими науками

[alevlakam]

Немного сокращенный перевод статьи из сборника "Philosophy of mathematics today", 1997, под редакцией Э. Агацци. Выделения жирным шрифтом — авторские, подчёркиванием — мои.

 

Эвандро Агацци

 

Взаимосвязь математики с другими науками

 

Некоторые исторические соображения

 

 

В западной цивилизации математика всегда была тесно связана с идеей (или идеалом) науки как таковой, и это по нескольким причинам. Во-первых, понятие знания в его полном смысле и значении уже ранними греческими философами связывалось с чем-то бóльшим, чем простая истина. В то время как Парменид различал истину (alétheia) и мнение (dóxa), Платон отмечал, что у нас, безусловно, есть «истинные мнения», но они не составляют знания в полном смысле, той формы знания, которую он называет наукой (epistéme). Согласно этой точке зрения, существует слабая форма знания (а именно мнение, которое может быть истинным, но является случайным и неустойчивым) и сильная форма знания (наука), которая характеризуется тем, что она доказательна и, таким образом, наделена необходимостью и устойчивостью. Нетрудно заметить, что такое требование было наложено на идеал науки тем историческим фактом, что в греческой культуре математика уже достигла статуса доказательной дисциплины. Действительно, хотя учёные Египта и Месопотамии открыли несколько частных «математических истин», но они заключались в обнаружении единичных проявлений определенных геометрических или числовых свойств, в то время как ранние греческие математики смогли доказать общие теоремы, в рамках которых оказались включены и указанные частные проявления, и потенциально бесконечное количество подобных примеров. Этот поиск основания известных истин посредством доказательства их зависимости от высших истинных принципов (archai) стал парадигматическим для любого вида адекватного знания, и именно поэтому первые греческие философы (начиная с Фалеса, который считается также и первым из известных истории математиков) применили это методологическое требование (то есть поиск одного arché или нескольких archai) к объяснению общего устройства реальности.

 

Подразумевало ли это методологическое требование также наличие онтологической доктрины, согласно которой первоосновы реальности вообще - это математические принципы? Не обязательно, как ясно показывает история ранней греческой философии. Тем не менее, некоторые философы сделали этот шаг, например, Пифагор и его ученики, которые утверждали, что числа являются сущностью всего. В более поздних и более зрелых философских доктринах этот пифагорейский взгляд одновременно и сохранялся, и был превзойдён. Он был превзойдён в том смысле, что математические принципы больше не считались первоосновами в абсолютном смысле; например, Платон признает, что для приобретения адекватного интеллектуального понимания, необходимого для философии, требуется основательная математическая подготовка (поскольку она помогает нам выйти за пределы уровня чувственного познания и перейти к рассмотрению нематериальных реальностей), но задачу предоставления окончательного обоснования тех математических принципов, которые профессиональные математики просто допускают в некотором роде гипотетически, он возлагает на чисто философские размышления. Позицию «промежуточного» знания математике приписывает также Аристотель, который, с одной стороны, признает, что «доказательная наука» требует дедукции из первых принципов, наделенных абсолютной истиной и очевидностью, но, с другой стороны, утверждает, что первые принципы реальности как таковой исследуются метафизикой, в то время как первые принципы математики (как и других наук) должны быть абстрагированы от сущности их конкретных объектов. Тем не менее, и Платон, и Аристотель в определенной степени принимают пифагорейскую точку зрения, в основном на следующих основаниях: Вселенная — это упорядоченный космос, поскольку ее гармоничная структура соответствует присущей ей конечности, выражающей сверхъестественный замысел, который сам по себе благ. Для Платона это влечет за собой подлинный математический порядок, тогда как для Аристотеля это выражается в различных совершенствах движений, характеризующих иерархию природных субстанций (линейное движение для земных существ, совершенное круговое движение для небесных тел). Эти доктрины позволили преобразовать вычислительные астрономические модели, разработанные такими математиками, как Аристарх, Евдокс, Птолемей (основанные на комбинациях круговых движений звезд и планет), в подлинные космологии, наделенные метафизическим смыслом. Эти космологии явно подразумевали приписывание миру математической структуры и, когда в истории появились христианское и исламское мировоззрения, породили тезис о том, что сам Бог в организации своего творения действует как искусный в математике инженер (это выражено в некоторых известных афоризмах, например: «Бог всегда математизирует» или «Бог создал все по весу, числу и мере»).

 

Эти доктрины оставались влиятельными и когда в эпоху Возрождения зародилось современное естествознание, несмотря на гораздо большее значение, придававшееся эмпирическому исследованию, и на то новшество, которое представляло собой введение экспериментального метода. Наиболее ярким примером является Галилей, который обычно считается самым видным среди «отцов» современной науки по двум основным причинам: с одной стороны, он четко обозначил особенности экспериментального метода, а с другой стороны, он признал математику незаменимым инструментом для естественной науки. Но почему он отводил математике такую ​​важную роль? Ответить можно двояко. С методологической точки зрения Галилей признает, что математика — единственная наука, в которой человек может достичь абсолютной достоверности (достоверности в математических вопросах, сравнимой с той, на которую способен сам Бог). Это означает, что он сохраняет идею науки как «доказательного знания», и хотя он явно утверждает, что естественные науки должны основываться как на «sensate esperienze» (чувственном опыте), так и на «matematiche dimostrazioni» (математических доказательствах), ясно, что именно благодаря использованию математики естественные науки являются доказательными. Но тогда следует рассмотреть и более тонкую причину использования математики в науке. Наиболее известна цитата, в которой Галилей, похоже, утверждает, что нам нужна математика, чтобы познать физический мир, потому что этот мир обладает внутренней математической структурой [«Философия написана в величественной книге (я имею в виду Вселенную), которая постоянно открыта нашему взору, но понять ее может лишь тот, кто сначала научится постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики, и знаки ее —треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни единого слова...»]. Однако такое привлекательно онтологическое (и почти буквально пифагорейское) утверждение следует понимать в контексте полемики, т. е. в контексте, который не оправдывает его буквального толкования. Гораздо более значима общая эпистемологическая позиция Галилея: он утверждает, что мы не можем получить никаких достоверных знаний о природных субстанциях, если попытаемся постичь их сокровенную сущность, в то время как мы можем получить такие знания, если ограничимся исследованием нескольких их случайных свойств [В третьем письме к Маркусу Вельзеру о солнечных пятнах содержится следующее утверждение: «В своих рассуждениях мы либо стремимся проникнуть в истинную и внутреннюю сущность природных веществ, либо довольствуемся знанием некоторых их свойств. Попытка постичь сущность, на мой взгляд, столь же невыполнима в отношении ближайших элементарных веществ, как и в отношении более отдаленных небесных тел. [...] Но если мы хотим запечатлеть в своем сознании постижение некоторых свойств вещей, то, как мне кажется, нам не следует отчаиваться в своей способности постичь это в отношении далеких тел так же хорошо, как и в отношении близких, а в некоторых случаях, возможно, даже точнее»] Но эти свойства не случайны (accidental) в разговорном смысле слова, то есть не являются поверхностными или незначительными. Напротив, они являются «акциденциями» (accidents) в философско-техническом смысле, то есть «существуют в субстанции, а не сами по себе», однако они соответствуют тем свойствам вещей, которые не зависят от нашего субъективного восприятия, а являются объективными. Это «реальные случайности (акциденции)», а не просто «кажущиеся случайности» или просто явления [Вот соответствующий отрывок из «Пробирных дел мастера»: «Мысля себе какую-нибудь материю или телесную субстанцию, я тотчас же ощущаю настоятельную необходимость мыслить ее ограниченной и имеющей определенную форму. Материя должна находиться в данном месте в то или иное время. Она может двигаться или пребывать в состоянии покоя, соприкасаться или не соприкасаться с другими телами, которых может быть одно, несколько или много. Отделить материю от этих условий мне не удается, как я ни напрягаю свое воображение. Должна ли она быть белой или красной, горькой или сладкой, шумной или тихой, издавать приятный или отвратительный запах? Мой разум без отвращения приемлет любую из этих возможностей. Не будь у нас органов чувств, наш разум или воображение сами по себе вряд ли пришли бы к таким качествам. По этой причине я думаю, что вкусы, запахи, цвета и другие качества не более чем имена, принадлежащие тому объекту, который является их носителем, и обитают они только в нашем чувствилище [согро sensitivo]. Если бы вдруг не стало живых существ, то все эти качества исчезли бы и обратились в ничто. Но, поскольку мы наделили их именами, которые отличаются от имен других, реальных атрибутов, нам хотелось бы, чтобы они и в самом деле отличались от них»]. И поскольку эти реальные акциденции являются теми свойствами вещей, которые действительно могут быть выражены математически, оказывается, что математически сконструированное естествознание — это, в конечном счете, и есть та наука, которая позволяет нам исследовать объективные особенности физического мира. Это была концептуальная основа нового естествознания, которая была полностью принята Ньютоном и впоследствии стала стандартом. Очевидно, что в эту концепцию была заложен определенный онтологический смысл: естествознание не пытается постичь скрытую сущность Природы; оно просто остается верным явлениям, но способно найти законы природы, объективно регулирующие эти явления. Иными словами, законы природы существуют в реальности и должны быть раскрыты посредством интеллектуального исследования, начинающегося с чувственных данных, но выходящего за их рамки.

 

Такой образ мышления был в некотором смысле признан Кантом, но в то же время получил у него совершенно новую интерпретацию и обоснование. Согласно Канту, «вещи в себе» недоступны нашему знанию, которое может схватывать лишь явления (в смысле простых «видимостей»), но наш разум накладывает на эти явления законы, что позволяет нам формулировать универсальные и необходимые утверждения. Законы природы являются результатом такого взаимодействия эмпирического выявления и законов мышления и, поскольку они зависят от универсальных функций нашего разума, они не являются субъективными. Хотя они и не являются законами Природы как таковой, они являются законами такой природы, как она нам известна (или законами феноменального мира), и в этом смысле они объективны (они характеризуют мир объектов, который конструируется нашим разумом, хотя и не создается им). Организация объективного мира включает два уровня априорных структур нашей познавательной способности: чистые формы пространства и времени, которые служат основой для математики, и чистые понятия нашего разума, которые позволяют формулировать синтетические априорные суждения. Из этого следует, что математика прочно вплетена в любое подлинное научное знание. Этот вывод явно сформулирован в знаменитом высказывании Канта (которое, кстати, было почти буквально предвосхищено Леонардо да Винчи), согласно которому количество науки, присутствующей в любом познавательном предприятии, соответствует количеству математики, присутствующей в нем [«Вместе с тем я утверждаю, что в любом частном учении о природе можно найти науки в собственном смысле лишь столько, сколько имеется в ней математики.»].

 

Стоит отметить, что такое утверждение было сделано Кантом для того, чтобы отвергнуть возможность того, что психология когда-либо достигнет уровня науки. Известно, что, спустя не так уж много десятилетий после этого кантовского заявления научная психология всё же появилась, первоначально в результате попыток ввести математизацию в область психических явлений (Гербартом, преемником Канта на кафедре Кёнигсберга), а позже – путем попыток связать психологию с другими естественными науками (такими как нейрофизиология) или путем применения к ней экспериментального метода. Еще более значительным отступлением от кантовского идеала стало отстаивание научного характера социальных и исторических наук в ходе масштабной дискуссии, состоявшейся в конце XIX и начале XX веков. Мы не будем прослеживать детали этой дискуссии, но мы можем признать, что в настоящее время понятие науки стало гораздо шире: мы можем квалифицировать как науку любую область исследования, доказавшую свою способность достичь уровня объективности и строгости без неукоснительного обязательства использования математических инструментов (это счастливое обстоятельство является привилегией лишь некоторых наук).

 

Таким образом, проблема, которую мы сейчас попытаемся исследовать, сводится к следующему: в тех случаях, когда математика действительно оказывается мощным, плодотворным и практически незаменимым инструментом исследования, какое значение следует этому придавать? Означает ли это, что мы исследуем математически организованную часть или уровень мира? Означает ли это, что математика успешна потому, что этот уровень мира обладает внутренней математической структурой? Или это просто означает, что математика — это лишь удобная рамка, в которую мы пытаемся втиснуть разрозненное многообразие наших эмпирических данных?

 

Этот вопрос не является праздным или чисто умозрительным и он беспокоил многих ученых. Некоторые из них считали достойной восхищения загадкой то, что наша математика «настолько эффективна» (в том смысле, что она позволяет нам формулировать физические законы и выводить из них точные предсказания и успешные применения). Без такого неявного понимания современная космология, которая по существу основана на развитии физических следствий математических уравнений общей теории относительности и квантовой физики, казалась бы почти бессмысленным занятием. Правда, другие ученые (например, Эйнштейн) отмечали, что любая физическая теория, в той мере, в какой она точна (математически), неверна, а в той мере, в какой она верна, неточна. Рассматривая подобные вопросы, мы легко можем обнаружить старую проблему онтологического значения математики, проблему, которая демонстрирует две разные стороны. С одной стороны, ее можно рассматривать как проблему рассмотрения математики как имеющей дело с очень специфической областью своих собственных объектов (для краткости назовем их «абстрактными объектами»), но с другой стороны, похоже, что математика может распространять свою компетенцию также на некоторые области иных объектов (назовем их «конкретными объектами»), таким образом, что то, что открывается в области абстрактных математических объектов, почти автоматически становится применимым в областях конкретных объектов.

 

Математика как теория и как язык

 

Мы надеемся пролить свет на этот вопрос, представив своего рода двойственную природу математики, которую мы предлагаем анализировать, рассматривая ее, с одной стороны, как систему теорий, а с другой — как язык. Мы понимаем здесь «теорию» в самом общем смысле, согласно которому она означает язык (L), говорящий о данном универсуме (U) объектов с целью описания его структуры. Следовательно, понимание математики как системы теорий содержит, явно или неявно, убеждение в существовании математических объектов и в том, что различные математические теории стремятся исследовать эти объекты. Напротив, подобное убеждение не подразумевается при принятии точки зрения, согласно которой математика по своей сути является языком. Можно также отметить, что эта двойственная перспектива является результатом исторического развития математики, поскольку представление о ней как о теории характерно для ее классического периода, в то время как для ее современной эволюции характерно отдавать приоритет ее статусу языка.

 

Действительно, в традиционном мышлении люди были склонны рассматривать арифметику, геометрию, анализ и т. д. как научные дисциплины, относящиеся к определенным точным и четко определенным математическим сущностям, таким как натуральные числа, геометрические фигуры, действительные и комплексные числа. Это становится еще яснее, если вспомнить, что, согласно традиционному мышлению, математические утверждения считались истинными. Истина же — это свойство, которое мы можем приписать утверждениям, если они точно выражают реальность такой, какая она есть (или, другими словами, ни одно утверждение является истинным или ложным не само по себе, а лишь относительно чего-либо). Следовательно, истинность математических утверждений подразумевала, что эти утверждения относятся к объектам и утверждают о них что-то истинное.

 

Хорошо известно, что подобный образ мышления, почти повсеместно распространенный среди ученых и философов, начал переживать серьезный кризис в первой половине прошлого (XIX) века в результате построения неевклидовых геометрий. Действительно, они представляли собой примеры математических теорий, которые не подтверждались нашей интуицией, и которые, тем не менее, невозможно было исключить из области математики из-за их логической непротиворечивости. Но принятие этих теорий подразумевало гораздо больше, чем просто кризис математической интуиции. Например, если мы рассмотрим сумму углов треугольника, мы обнаружим, что каждая из следующих различных геометрий - евклидова, гиперболическая и эллиптическая - присваивает этой сумме различное и несовместимое с другими геометриями значение. И вот в чем проблема: если треугольник существует, сумма его углов должна иметь одно и только одно значение; следовательно, только одна из трех геометрий будет истинной, в то время как другие, хотя и логически непротиворечивые, окажутся фактически ложными. Однако столь же хорошо известно, что мы не можем различить эти геометрии с помощью эмпирических тестов, и что, более того, они настолько тесно взаимосвязаны очень интересными логическими связями, что невозможно «спасти» только одну геометрию и отбросить две другие. Мы вынуждены принять (или отвергнуть) их все вместе. Поскольку невозможно было объявить их совместно истинными, было принято решение о том, чтобы сказать, что они «ни истинны, ни ложны», тем самым сводя любую геометрию к чисто «гипотетико-дедуктивному» дискурсу, который может стать истинным или ложным в зависимости от обстоятельств, то есть в зависимости от конкретных способов его интерпретации. Полезно подчеркнуть, что таким образом произошел отказ от приписывания геометрии определенных специфических объектов и её начали рассматривать как чистый и простой язык (или как организованную систему языков), допускающий интерпретацию в различных областях объектов, но не привязанный ни к одной из них как к своей собственной специфической или, так сказать, естественной области.

 

На первый взгляд может показаться, что ничего принципиально нового не произошло, поскольку общепризнано, что математика уже довольно давно играла роль языка, в частности, со времен Галилея, Декарта и Ньютона, которые, так сказать, освятили ее как язык физики. Согласно этой линии рассуждений, открытие того, что евклидова геометрия лучше подходит для описания обычного макроскопического мира, а риманова геометрия лучше подходит для описания мира, о котором говорит общая теория относительности, по сути, является примером ситуации, хорошо известной в истории науки, а именно: каждая отрасль физики могла развиваться только тогда, когда подходящие математические теории обеспечивали ее удобными языками.

 

Всё это неоспоримо. Однако рискует остаться упущенным один важный момент: согласно традиционному образу мышления, каждая математическая теория прежде всего касалась своих конкретных объектов, и, помимо этого, могло случиться так, что некоторые математические теории оказывались полезными также в качестве языков, то есть, что они могли играть роль языка для определённых конкретных эмпирических теорий. Но в случае упомянутых выше геометрий, кажется, что математические теории сводятся к своей чисто лингвистической функции. То, что было сказано о неевклидовых геометриях, можно повторить (ещё более значимо) для нескольких других разделов математики, и нет необходимости подчеркивать, что формалистический подход, столь распространённый в современной математике, выражает именно эту точку зрения. Согласно этому подходу, математические объекты больше не могут рассматриваться как независимые от языка, а сам язык рассматривается как наделённый, так сказать, способностью «давать существование» своим собственным объектам. Достаточно вспомнить некоторые типичные утверждения, например, что натуральные числа образованы (constituted) на основе аксиом Пеано, или что геометрические объекты образованы на основе аксиом Гильберта, и т. п.

 

В данном контексте возникает следующая проблема: если принять, что математика является также и языком, правомерно ли сегодня утверждать, что она только язык, или же следует восстановить (и если да, то в какой степени) прежнюю убежденность в том, что она также состоит из подлинных теорий, у которых есть свои специфические объекты, которые они рассматривают? Во втором случае, как можно охарактеризовать две точки зрения, позволяющие рассматривать математику двумя различными способами? Достаточно объективный ответ на подобные вопросы не может опираться на личные философские убеждения или апеллировать к так называемому «математическому опыту», который по-прежнему остается субъективным и спорным. Мы предлагаем принять во внимание определенные исследовательские подходы и определенные результаты математической логики, где можно найти некоторые ориентиры для анализа нашей проблемы.

 

Синтаксис и семантика математических теорий

 

В рамках математической логики обе вышеупомянутые точки зрения могут быть сформулированы автономно, поскольку синтаксис рассматривает любую формализованную теорию только в той мере, в какой это касается структуры её языка, в то время как семантика рассматривает возможности интерпретации этого языка таким образом, чтобы он говорил о произвольных областях объектов, которые, как предполагается, заданы независимо от самого языка. Теория моделей, которая представляет собой техническое развитие семантики, пытается охарактеризовать различные типы объектных структур, которые могут быть описаны данным языком, и с этой целью предоставляет очень важные разъяснения для концепции математики как совокупности теорий. Однако наличие этих четко различающихся точек зрения недостаточно для обоснования утверждения о том, что математика имеет дело с конкретными объектами: сосуществование таких точек зрения предоставляет нам инструменты для исследования проблемы, но ещё не даёт нам представления о конечном результате нашего исследования. Итак, как же мы можем использовать синтаксические и семантические инструменты для получения информации о нашем вопросе?

 

Первоначальный подход может быть следующим: поскольку нет сомнений в том, что любая математическая теория существует в форме языка, единственная действительно проблематичная задача — выяснить, существует ли способ обнаружить, так сказать, под этим языком структуру объектов, к которой он относится. Мы могли бы достичь этой цели, если бы смогли выявить некоторые возможные несоответствия между языком и такой объектной структурой. Действительно, ясно, что если бы таких несоответствий не удалось обнаружить, если бы язык оказался полным отражением структуры объектов, мы имели бы полное право задаться вопросом, не является ли существование такой структуры излишним. Тогда, несмотря на то, что объективно утверждается в рамках математической теории, подход, сводящий математику к языку, может показаться более критическим.

 

Кажется неоспоримым, что математическая логика действительно демонстрирует определенные несоответствия упомянутого рода. Классическая проблема, формулируемая в отношении системы аксиом, предложенной для «формализованной» математической теории (то есть в качестве формальной системы, построенной с целью формализации «интуитивной» математической теории), — это проблема ее семантической полноты. Ее можно очень просто выразить так: достаточны ли предложенные аксиомы для того, чтобы с помощью формально корректных выводов получить все истинные утверждения рассматриваемой интуитивной теории? В ряде случаев на этот вопрос необходимо дать отрицательный ответ: теорема Гёделя о неполноте 1931 года как раз приводит пример математического утверждения, которое признается истинным относительно натуральных чисел, но которое, тем не менее, не может быть выведено из аксиом формальной арифметики. В этом случае следует заключить, что данная теория, рассматриваемая как язык, не полностью овладевает областью объектов, к которым, по крайней мере предположительно, она относится, поскольку существуют утверждения, которые истинны в этой области, но при этом выходят за рамки её возможностей контроля и принятия решений.

 

Наиболее интересный момент заключается в том, что подобная ситуация не может быть объяснена слабостью используемого дедуктивного инструмента, а является неотъемлемой частью самой теории. Действительно, теорема Гёделя применима уже для арифметики, формализованной в логике первого порядка, логике, которая сама по себе семантически полна. Это означает, что, имея набор утверждений (например, аксиом), сформулированных на языке первого порядка, любой из обычных логических исчислений первого порядка достаточен для вывода из такого набора всех его логических следствий (то есть всех утверждений, которые истинны во всех возможных моделях этого набора). Следовательно, результат Гёделя предлагает нам два различных типа рассмотрения: существуют утверждения, которые могут быть сформулированы на языке арифметики и не являются истинными во всех возможных моделях, например, аксиом Пеано, а только в той, которую мы могли бы назвать естественной моделью или стандартной моделью этих аксиом. Более того, подобные утверждения нельзя проверить одними лишь инструментами формального вывода (поскольку по крайней мере некоторые из них являются «формально неразрешимыми»). На первый взгляд, этот результат интересен, в частности, потому что он указывает на существование нестандартных моделей арифметики. Можно также сказать, что еще более веская причина для интереса к нему заключается в том, что он подтверждает правомерность разговора о стандартной модели арифметики. Эта модель обладает собственной идентичностью и, по-видимому, независима от языка, который ее описывает, поскольку этот язык не способен доказать все, что истинно в модели. Способ установления истинности неразрешимых утверждений арифметики состоит в метатеоретической рефлексии, которую можно сравнить с неожиданным благоприятным обстоятельством, позволяющим нам взглянуть непосредственно на область натуральных чисел, минуя формальную теорию арифметики.

 

Это дает нам право утверждать, что натуральные числа в некотором смысле существуют и обладают свойствами, которые не присущи другим возможным структурам, на основе которых аксиомы формализованной арифметики также могут быть интерпретированы таким образом, чтобы сделать их истинными. Эта формализованная теория может установить множество утверждений, истинных о натуральных числах, а также о других нестандартных структурах. Тем не менее, она говорит слишком мало о числах, поскольку часть истины, касающейся их, ускользает от нее.

 

Ещё один интересный аспект заключается в том, что формальные языки рискуют оказаться неадекватными по отношению к математическим объектам не только из-за недостаточности, но и из-за избыточности. Чтобы интуитивно прояснить эту ситуацию, отметим, что, если мы хотим достоверно охарактеризовать какую-либо реальность, мы должны приложить усилия, чтобы описать её максимально конкретно, чтобы избежать риска того, что наше описание одинаково хорошо подойдёт и к другим, совершенно иным реальностям. Применяя это рассуждение к области математики, можно сказать, что для характеристики определённой структуры объектов необходимо дать ей описание, которое однозначно определяет её с точностью до изоморфизма, то есть описание, которое оказывается ложным, по крайней мере частично, для структур, не изоморфных той, которую мы хотим охарактеризовать. Когда система формальных выражений обладает этим свойством, её обычно называют категориальной в терминологии математической логики, и кратко говорят, что она допускает одну единственную модель (с точностью до изоморфизма). Теперь хорошо известно, что категориальность отнюдь не является широко распространенным свойством формальных систем, а, наоборот, сильно зависит от используемого языка (в языках первого порядка она существует лишь в очень ограниченном смысле). Принимая во внимание и этот факт, оказывается, что это не является привилегией всех интересных математических теорий. Вывод теперь ясен: по отношению к математическим объектам языки формализованных теорий иногда говорят меньше, чем хотелось бы, а иногда больше; это подтверждает возможность установить то несоответствие между объектом и языком, о котором мы говорили выше.

 

Абстрактные и конкретные математические теории

 

Полученные выводы предполагают, что следует рассмотреть разделение области математических теорий. Существуют теории, которые, по-видимому, были специально разработаны с целью предоставления очень общих концептуальных основ, способных быть соотнесенными с различными типами структур, даже неизоморфными; мы можем назвать эти теории абстрактными и признать в них языки с очень общим охватом. Однако, помимо них, существуют также конкретные теории, целью которых является отсылка к совершенно специфической структуре математических объектов и которые с этой точки зрения заслуживают того, чтобы рассматриваться как подлинные теории, наделенные содержанием в смысле, который, кажется, не слишком далек от того, который мы обычно приписываем эмпирическим наукам. Именно в этом особом смысле мы здесь называем эти теории «конкретными», несмотря на то, что их объекты остаются «абстрактными» в онтологическом смысле по сравнению с объектами эмпирических наук. Однако это признание некоторого сродства с эмпирическими науками полезно, поскольку оно поднимает интересный с философской точки зрения вопрос: «Как можно конкретно обозначить объекты теорий таким образом, чтобы, хотя они и частично связаны с языком, на котором эти объекты описываются, тем не менее, не просто совпадали с этим языком?»

 

Этот вопрос, как известно, широко обсуждается в философии эмпирических наук, и сторонники доктрины «нагруженности» научных данных теорией утверждают, что данные (и объекты вместе с ними) «создаются» самой теорией, в которой они возникают, так что для сравнения теорий не существует эмпирического критерия, нейтрального по отношению к языку теорий (отсюда знаменитая доктрина «несоизмеримости» научных теорий). Сейчас мы рассматриваем полную аналогию этого вопроса в философии математики, и возможное решение проблемы имеет тот же характер, что и решение, допустимое в случае эмпирических теорий.

 

На первый взгляд может показаться, что для решения нашей проблемы лучше всего подходит так называемая платонистическая концепция математики, поскольку она рассматривает математические сущности как существующие сами по себе, наделенные автономным существованием, сильно напоминающим существование физических объектов, которые существуют до и независимо от того, что наше эмпирическое и теоретическое исследование обнаруживает их свойства. Однако, как и в случае с эмпирическими науками, такое онтологически сильное предположение не особенно удобно, поскольку оно не проливает свет на решающую проблему того, как мы можем соотнести наш язык с этими совершенно независимыми от языка объектами. Гораздо плодотворнее соображение, что даже в физике (и в эмпирических науках вообще) мы фактически никогда не рассматриваем просто вещи повседневного опыта, а скорее определенные срезы вещей, и наша задача состоит в том, чтобы создать эти срезы путем формулирования определенных предикатов и функций, которые, в конечном счете, соотносятся с определенными стандартизированными методами манипуляции, то есть с процедурами операционального и конструктивного характера. В заключение, представляется, что более плодотворную перспективу для нашей проблемы предлагает конструктивистская концепция математики, согласно которой становится возможным создавать и показывать математические объекты, которые достаточным образом определены и остаются отличными от языка математических теорий, и которые, кроме того, находятся в положении, которое накладывает на язык определенные условия адекватности, которым он должен следовать. Следуя этой линии рассуждений, можно дать приемлемое (хотя и ограниченное) обоснование тем «эмпиристским» концепциям математики, которые были выдвинуты в последние годы (но мы не будем развивать здесь этот момент).

 

Надлежащая роль аксиоматизации

 

Стоит отметить, что принятие конструктивистской и операциональной концепции математического мышления никоим образом не подразумевает отказа от великих интеллектуальных достижений, связанных с так называемой аксиоматической революцией. Достаточно понимать, что различие между проблемой смысла и проблемой референции или денотации по-прежнему остается актуальным в математике (хотя двусмысленность, согласно которой указанная революция интерпретируется как затрагивающая и модифицирующая проблему денотации, все еще довольно распространена). Действительно, как мы уже упоминали, часто говорят, например, что точки, линии, плоскости, углы, многоугольники — это не сущности, существующие где-то, а просто то, о чем говорится в аксиомах Гильберта. То же самое повторяется в отношении натуральных чисел, которые якобы являются ничем иным, как тем, о чем говорится в аксиомах Пеано, и так далее. Подобные способы рассуждений пытаются поддержать убеждение, что аксиоматические системы конструируют или создают математические объекты, тогда как единственное, что можно утверждать правильно, это то, что они точно и строго (хотя и неявно) определяют смысл математических понятий. Иными словами, подлинный смысл аксиоматической революции состоит в том, чтобы, помимо синтаксической функции аксиом, которая уже была сознательно заложена в «Началах» Евклида, уточнить и их внутреннюю семантическую функцию. Это заключается в допущении в математические теории только тех смысловых элементов, которые явно содержатся в сложной логической сети, представленной исходными утверждениями. Однако из этого вовсе не следует, что аксиомы наделены какой-либо онтологической функцией: такое утверждение будет лишь еще одним философским заявленим, выдвинутым без какого-либо подлинного основания.

 

Весь вопрос становится еще яснее, если вспомнить, что аксиоматизация стала почти нормой и в области эмпирических наук (особенно физики), и ее роль в этих дисциплинах лишь частично носит синтаксический характер, то есть лишь в той мере, в какой аксиоматизация позволяет лучше понять дедуктивную структуру таких наук. Но ее роль еще более существенна с семантической точки зрения, поскольку аксиомы обеспечивают экспликацию смысла наиболее важных понятий теории, анализируя, так сказать, этот смысл в его элементарных компонентах и ​​показывая существующие отношения между такими элементами. Короче говоря, аксиомы обеспечивают анализ смысла, что чрезвычайно важно, но они все же далеки от того, чтобы придать теории эмпирическое значение, которое, совершенно иным образом, связано с эмпирическими операциями измерения и которое следует называть, точнее, физической денотацией.

 

Если же мы рассмотрим те математические теории, которые мы назвали абстрактными, то легко увидим, что они по сути являются языками. Ибо, даже когда говорят, что они описывают определенные структуры, в конечном счете подразумевается, что такие структуры представляют собой своего рода возможные миры, не имеющие отношения к чему-либо конкретному. Это очень общие структуры, выражающие концепцию чисто идеальной возможности для конкретизации условий, налагаемых языковыми положениями, содержащимися в аксиомах. Все это легко подтверждается, когда пытаешься интерпретировать эти так называемые структуры в их отношении к подлинным конкретным структурам, даже если они являются чисто математическими структурами, такими как натуральные, действительные, комплексные числа; последние рассматриваются как примеры или воплощения, которые эффективно реализуют общность абстрактных структур.

 

Двойная роль математических конкретных теорий

 

Мы уже признали, что в области математики существуют дисциплины, которые в собственном смысле слова представляют собой теории, наряду с другими дисциплинами, которые лучше характеризовать как языки. Теперь мы хотим понять, как получается, что подлинные теории могут использоваться в роли языков. Концепция формализации укажет на самое простое решение. Мы уже осознали, что чрезмерное использование идеи формализации может завести слишком далеко, то есть привести к мнению о возможности полного отказа от математических объектов. Тем не менее, правильное использование этой идеи позволяет нам увидеть, что даже в случае конкретных математических теорий язык, описывающий их объекты, не является неразрывно связанным с ними. В действительности, можно рассматривать язык конкретной теории независимо и посмотреть, может ли он, помимо математической структуры, для описания которой он был разработан, допускать и другие модели. Иными словами, конкретные математические теории могут вести себя как абстрактные теории, если мы абстрагируем их от их специфического математического содержания. В этом случае их язык остается свободным для интерпретации в отношении других универсумов объектов (и это могут быть, например, физические объекты), и он может оказаться способным выражать некоторые истины, касающихся этих новых объектов. Более того, если структура новых объектов изоморфна структуре математических объектов, которыми занималась рассматриваемая теория, то отсюда следует, что все математические теоремы теории остаются верными и в новой структуре.

 

Применение математики в эмпирических науках

 

Наиболее известным примером такой возможности является теория величин в области эмпирических наук, и особенно в физике. Возможность введения величин в определенной области конкретных материальных объектов отнюдь не является непосредственной, гарантированной или элементарной. Прежде всего, необходимо найти свойство таких объектов, позволяющее сравнивать их таким образом, чтобы в их множестве можно было ввести квазипоследовательную упорядоченность, то есть полную линейную упорядоченность, не исключающую того, что более одного объекта может занимать одну и ту же позицию в ряду. Такой порядок должен затем подвергнуться метризации, которая зависит от нахождения фундаментальной процедуры измерения, позволяющей определить стандартный образец, к которому может быть привязана единица измерения. Это также зависит от существования операции физического составления (composition), которая ведет себя аддитивно по отношению к измеряемой величине. Только если все эти условия будут выполнены, станет возможным ввести величину в собственном смысле, то есть функцию, которая присваивает каждому объекту материальной области действительное число. Это действительное число представляет собой меру объекта относительно предполагаемой величины. Это условие, вводя гомоморфизм между областью материальных объектов и областью положительных действительных чисел, преобразует язык анализа (то есть конкретной теории действительных чисел) в язык, способный достоверно и правдиво говорить о тех физических объектах, к которым, как утверждается, принадлежит такая величина.

 

Эти соображения позволяют нам более критически взглянуть на упомянутую в начале этой статьи дискуссию: означает ли успех применения математики в изучении физического мира, что этот мир обладает математической структурой в онтологическом смысле, или же это просто означает, что мы находим в математике только удобный практический инструмент для упорядочивания наших представлений о мире? Ни один из ответов на этот вопрос не является правильным, и это потому, что сам вопрос сформулирован некорректно. Действительно, он неявно предполагает, что цель наших научных исследований состоит в том, чтобы столкнуться с реальностью «вещей» такими, какие они есть, так сказать, сами по себе. Но мы уже видели, что это не так, поскольку любая наука занимается исключительно ограниченным «срезом», создаваемым в реальности путем принятия определенной точки зрения, которая конкретно проявляется в принятии ограниченного числа предикатов в рассуждениях о реальности. В кратких рассуждениях, посвященных вопросу величин и измерений, мы также напомнили, что такие предикаты и функции устанавливаются далеко не сразу и не элементарным образом, поскольку для достижения гомоморфизма со структурой положительных действительных чисел требуется ряд изощренных операциональных манипуляций. Поэтому ясно, что объекты, изучаемые эмпирической теорией, отнюдь не являются просто вещами повседневного опыта, а представляют собой наборы «атрибутов» (то есть свойств, отношений и функций), вводимых посредством подходящих операциональных процедур, часто имеющих явную и заявленную цель определения конкретной структуры, изоморфной или, по крайней мере, гомоморфной структуре действительных чисел или какой-либо другой математической структуре. Но теперь, если объектами эмпирической теории действительно являются сущности такого рода, мы вполне вправе утверждать, что они фактически наделены математической структурой: это просто та структура, которую мы ввели посредством наших операциональных процедур. Однако эта структура объективна и реальна, и по отношению к ней математизированный дискурс далек от выполнения чисто условной и прагматической функции, цель которой – упорядочивание наших идей: он является точным описанием этой структуры. Конечно, мы никогда не сможем утверждать, что такой дискурс определяет структуру реальности в полной мере и исчерпывающе, и это по двум различным причинам.

 

Во-первых, реальность (как в смысле совокупности существующих вещей, так и в смысле «целого» любой отдельной вещи) гораздо богаче, чем тот конкретный «срез», который можно вырезать с помощью наших операциональных манипуляций. Во-вторых, мы должны понимать, что научный объект, определяемый как структурированный набор атрибутов, является абстрактным объектом, концептуальной конструкцией, которая идеально определена именно потому, что полностью определяется конечным списком предикатов. Но конкретные объекты отнюдь не таковы: они наделены большим количеством атрибутов неопределенного разнообразия, так что в лучшем случае они могут с приемлемой степенью приближения экземплифицировать определенные абстрактные объекты, которые полностью кодируют данный набор атрибутов посредством соответствующих им предикатов (предикат — это концептуальный и лингвистический аналог атрибута, существующего в реальности). Причина, по которой такая экземплификация может быть лишь частичной, заключается в том, что различные атрибуты, одновременно присутствующие в конкретном объекте, в некотором смысле взаимно ограничивают друг друга, так что этот объект никогда полностью не экземплифицирует ни один из них. Это объясняет правильный смысл таких распространенных и очевидных замечаний, как: «твердое тело, идеальный газ, адиабатическое превращение, идеальная упругая отдача и т. д. не существуют в реальности (или в природе)». Иногда это замечание используется чтобы продвигать тезис о том, что эти понятия всего лишь интеллектуальные фикции, лишенные какого-либо соответствия реальности, но используемые учеными инструментально для организации своих идей. Такая интерпретация совершенно неверна и объясняется просто путаницей между кодированием и экземплификацией: ни одна конкретная вещь не кодирует конечное и явное число характеристик, которые, наоборот, могут быть адекватно закодированы в понятии. Вещи могут экземплифицировать несколько понятий, в то время как понятия (или абстрактные объекты) не экземплифицируют атрибуты, которые они кодируют (например, лай — это свойство, закодированное в понятии собаки, но это понятие не лает, то есть не экземплифицирует это свойство). Возвращаясь к различию между смыслом, с одной стороны, и референцией или денотацией, с другой, можно также сказать, что абстрактные объекты относятся к уровню смысла, в то время как их экземплификации относятся к уровню референции и составляют то, что ими обозначается. Очевидно, что в случае эмпирических наук мы пытаемся построить концептуальные структуры (абстрактные объекты), имеющие эмпирические денотации (экземплифицированные конкретными объектами). Если хорошо понять это элементарное, но важное различие, то можно правильно увидеть, как математика может касаться физических объектов. Эти объекты являются абстрактными объектами, представляют собой структурированные множества предикатов, и нет абсолютно ничего удивительного в том, что они могут получить математическую структуру (например, структуру, изоморфную структуре положительных действительных чисел, или структуре данной группы, или абстрактного математического пространства и т. д.). Если случается так, что эти абстрактные объекты с определенной степенью приближения экземплифицируются конкретными объектами, мы вправе сказать, что соответствующая математическая структура также верна (с той же степенью приближения) для этой области конкретных объектов. В физике, как мы видели, абстрактные объекты конструируются путем выделения определенных онтологических атрибутов вещей посредством конкретных операций, так что они фактически относятся к вещам и экземплифицируются конкретными объектами, выделенными с помощью таких операций, с заданной степенью приближения или точности (степенью приближения, типичной для применяемой операционной процедуры). В заключение, во всех случаях, когда можно повторить нечто подобное тому, что было сказано здесь для физики, можно утверждать, что математика одновременно является наиболее точным языком для описания объектов рассматриваемой области и точно отражает конкретную структуру (в онтологическом смысле) этой области объектов. Разумеется, вполне разумно будет признать, что может оказаться, что другие аспекты этих вещей (или другие их атрибуты) нельзя рассматривать с помощью данного принятого нами математического языка, и это может означать либо то, что для этих атрибутов, подойдет какой-нибудь другой из доступных математических языков, либо даже то, что ни один из известных к настоящему времени математических языков не годится для их рассмотрения.

 

Исторический опыт показывает, что использование математики в качестве языка первоначально происходило именно в форме лингвистического применения конкретных математических теорий, таких как инфинитезимальный анализ и геометрия. И это не удивительно: богатство знаний, накопленных в этих теориях, позволило легко применять их язык как замечательный источник концептуальных инструментов для решения проблем физических наук. Однако здесь возникает довольно простое соображение: если такие плодотворные результаты можно получить, используя языки теорий, которые по своей природе не являются чисто лингвистическими, то еще более разумно ожидать, что познавательные достижения могут быть достигнуты путем использования тех математических теорий, которые уже по своей природе являются чистыми языками, то есть тех теорий, которые мы назвали абстрактными (таких как абстрактная алгебра, топология и т.д.). Это может происходить двумя разными способами: иногда возможно использовать уже доступные и готовые абстрактные языки, когда они оказываются непосредственно применимыми к определенным областям эмпирических исследований (это действительно произошло, например, когда теория групп или гильбертовы пространства использовались в квантовой механике). Но можно также рассмотреть возможность построения математических языков с нуля, новых абстрактных математических теорий, чтобы адекватно говорить об эмпирических структурах, которые мы еще не смогли полностью освоить: гибкость, являющаяся отличительной чертой абстрактных языков (которые не строятся как своего рода проекция данной структуры и, следовательно, остаются открытыми для любой возможной интерпретации), гарантирует им возможность успеха в исследовании новых областей исследований, чего часто не позволяют традиционные языки.

 

По этой причине полемика против измерения и квантификации, часто поднимаемая в наше время людьми, считающими их предрассудками, от которых было бы разумнее отказаться (например, в области «гуманитарных наук»), не может быть понята как оправдание отказа от математики. В самом деле, судить о математике, основываясь исключительно на измерении и квантификации, означало бы судить о математике, используя лишь один или несколько уже существующих математических языков в качестве точек отсчета, то есть языки определенных конкретных математических теорий. Но абстрактная математика содержит несколько возможностей для решения проблем способами, которые перестают быть количественными, не переставая при этом быть точными.

 

В заключение можно сказать, что современное осмысление оснований математики позволило нам достичь определенных взаимодополняющих перспектив с далеко идущими последствиями. С одной стороны, оно подтвердило старое реалистическое убеждение о существовании специфической объектной области математики, области объективного исследования, которая не сводится к построению гипотез, лишь «притворяющихся» имеющими референт: математика действительно обладает своим типичным миром, который, возможно, и не является тем бесконечным раем, о котором говорил Гильберт, но этот мир, тем не менее, остается чем-то конкретным, во что мы должны уметь проникать, и что мы должны уметь видеть, понимать, конструировать и открывать. С другой стороны, математика предстает как непревзойденный источник силы разума для постижения реальности, поскольку предлагает практически неограниченное разнообразие языков. В конечном счете, возможность исследования той или иной области реальности строго зависит от возможности наиболее точно сформулировать наши знания, будь то качественно или количественно. Было бы опасно жертвовать одним или другим из этих двух аспектов: только сохраняя оба, мы можем утверждать, что в математике мы что-то знаем и что находим в ней также наиболее эффективные инструменты для познания многих других вещей.