Предисловие к сборнику статей "Philosophy of mathematics today". 1997. Часть 1

[alevlakam]

Kluwer Academic Publishers, Springer Science, 1997

Решил перевести для себя предисловие этого сборника, написанное Эвандро Агацци.

Выделения в тексте — авторские (честно говоря, иногда для меня непонятные, но так напечатано в книге).

Философия математики (в широком смысле) столь же древняя, как и сама математика (и философия). Действительно, если рассматривать математику не просто как любой вид дискурса, касающийся, скажем, чисел и геометрических фигур, а как научный дискурс, занимающийся подобными темами, можно легко понять, что математика зародилась тогда, когда понятие научного знания было более или менее явно введено в человеческую культуру. Это историческое событие произошло в древнегреческой культуре около VI века до н.э. и заключалось в требовании, чтобы данный объем знаний был снабжен соответствующим обоснованием, обладающим признаками логического доказательства. Эта модель знания в первую очередь применялась именно к математическому содержанию, но также стала стандартной моделью философского исследования. Однако этого исторического совпадения было недостаточно для возникновения философии математики, поскольку это, очевидно, подразумевает, что математика должна быть объектом специфической философской рефлексии, а на это потребовалось некоторое время. Тем не менее, это не заняло слишком много времени, и у нас есть свидетельства такой рефлексии уже у так называемых философов-досократиков и, несколько позже, в великих системах Платона и Аристотеля. С этого момента более или менее осмысленное размышление о математике постоянно присутствовало в истории философии. Часто оно возникало в контексте теории познания или при построении какой-либо иерархической системы наук (как в Средневековье), но приобрело особое значение с началом того, что мы называем «современной» философией, начиная с Галилео и Декарта.

В этой долгой истории некоторые проблемы остаются неизменными и могут быть суммированы в вопросе о взаимосвязи математики, логики и онтологии. Можно сказать, что все эти проблемы возникли из убеждения, что математика является непревзойденным примером знания, наделенного абсолютной достоверностью, то есть истиной, сопровождаемой универсальностью и необходимостью. Это удивительное преимущество Платон объяснял как следствие того, что математические объекты свободны от какой бы то ни было чувственной примеси (онтологическое требование) и рассматриваются в соответствии со строгими дедуктивными рассуждениями (логическое требование). Но уже у Аристотеля видно, что математика предоставляет модель для логически безупречной формы знания, поскольку методологическая схема, которую он предписывает для любой подлинной науки во «Второй аналитике» (и которую можно по существу отождествить с аксиоматическим методом в его «классической» версии), была, по всей вероятности,  вдохновлена ​​математической практикой его времени, хотя его последователи, похоже, считали, что, наоборот, математика обладает своей достоверностью главным образом потому, что она построена в соответствии с логическими и методологическими правилами, представленными в «Органоне». Стоит, однако, отметить, что, когда в знаменитом Падуанском университете (за несколько лет до того, как там получил место Галилео) развернулась оживленная дискуссия о «достоверности математики» (quaestio de certitudine mathematicarum), несколько ученых заметили, что знаменитое demonstratio potissima ("наиболее совершенное доказательство"), соответствующее аристотелевской силлогистике, практически не встречается в математических доказательствах (сегодня мы легко понимаем, что это было в основном связано с тем, что монадическая логика классов, подобная той, что подразумевается в аристотелевской силлогистике, недостаточна для математического рассуждения). Результат этой полемики был весьма значительным: математика сменила силлогистику в качестве парадигмы логической строгости, причём не только в зарождающейся (в том числе усилиями Галилео) естественной науке, но даже в священной области философии. Упомянем лишь насмешливое отношение Декарта к силлогистической и формальной логике в целом, а также его программу (которая вскоре стала очень модной) подхода к философии и любым строгим исследованиям в целом more geometrico ("геометрическим методом"). Этот пример свидетельствует о существовании обратной связи между математикой и логикой, поскольку не всегда было так, что логика «доминировала» над математикой, и иногда математика вносила существенные изменения в понимание логики. В самом деле, если мы это осознаем, неудивительно, что Лейбниц предложил математизировать саму логику (то есть организовать логику в соответствии с принципами исчисления). В вышеупомянутых исторических фактах мы можем найти истоки двойного значения, которое мы до сих пор придаем понятию «математическая логика», а именно «логики математики» и «математически сконструированной логики» (два значения, которые столкнулись, например, во взглядах Буля и Фреге на эту дисциплину в XIX веке).

Всё это касалось, скажем, методологической структуры математики, но другие примеры указанной обратной связи исходили из нового содержания математики, того содержания, которое привело к выходу за рамки прославленной греческой (и арабской) математики. Я имею в виду прогресс, ставший возможным благодаря введению мнимых чисел, новым понятиям и процедурам, вытекающим из аналитической геометрии, первым шагам в развитии исчисления бесконечно малых и бесконечным рядам. Хорошо известно, что введение этих новшеств сопровождалось множеством логических и концептуальных неясностей и затруднений, что имело в основном два следствия. С одной стороны, это привело к своего рода приостановке неукоснительной «математической строгости» в пользу эффективности новых методов (в этом смысле можно говорить о появлении прагматического подхода в математике). С другой стороны, математики с философским складом ума прилагали значительные усилия с целью устранения этих трудностей путем философского исследования их источника. В большинстве случаев это сводилось к попытке прояснить онтологический статус этих проблемных «математических объектов», и в этом случае можно сказать, что логика по-прежнему доминировала над математикой, поскольку классическая логика (уже не в смысле аристотелевской силлогистики, а в более общем и несколько расплывчатом смысле уважения к самым основным логическим принципам, таким как принцип непротиворечия) была принята в качестве фундаментального критерия для поиска подходящей интерпретации новых математических объектов, способной избежать концептуальных и логических трудностей (включая те, которые зависели от более фундаментальных философских догматов, таких как исключение актуальных бесконечностей). Этот подход достиг своего первого большого успеха, когда Коши удалось найти в концепции предела инструмент для устранения почти всех упомянутых трудностей (одновременно обеспечив основу для строгого и последовательного построения всего инфинитезимального исчисления), и вдохновил длительную серию исследований по «ригоризации анализа», которая доминировала в XIX веке и привела не только к лучшей систематизации уже известного, но и к развитию новых разделов самой математики. Было бы поверхностно полагать, что такое плодотворное влияние было вызвано лишь озабоченностью формальной логической точностью. На самом деле, оно в равной степени было вызвано стремлением прояснить онтологию, лежащую в основе математических теорий: достаточно упомянуть результаты, полученные при «построении» различных числовых систем путем постепенного сведения их к области натуральных чисел. Без этой озабоченности онтологией просто невозможно понять работы, например, Дедекинда, Фреге и многих других.

Особую силу приобрела и другая онтологическая проблематика. Она касалась не онтологического статуса математических объектов, а вопроса о взаимосвязи этих объектов со структурой физического мира. Эта проблема существовала со времен зарождения философии (и, в некотором смысле, философии математики), но стала особенно актуальной после развития нового естествознания, заложенного Галилеем, который явно провозгласил, что оно должно быть наукой, истолкованной математически. Невероятные и стремительные достижения этой новой науки, обусловленные также внедрением все более сложных математических инструментов, казалось, оправдывали не только убеждение в том, что сам природный мир имеет в своей основе математическую, онтологическую структуру, но и некоторые новые идеи об онтологии математических объектов. Фактически, наиболее правдоподобными казались две позиции. Согласно первой интерпретации, можно было бы предположить, что математические объекты существуют сами по себе и составляют мир, наделенный собственной структурой и свойствами, и что конкретный физический мир также имеет свою независимую онтологическую структуру, которая, так сказать, изоморфна структуре математической вселенной. Но была возможна и другая интерпретация: физический мир имеет свою собственную структуру, и эта структура — математическая. Только посредством абстракции мы можем последовательно вывести из результатов исследования этого мира наши математические понятия и сделать их объектами нашего рассмотрения. Но тогда они не имели бы никакого онтологического существования сами по себе, будучи просто интеллектуальными абстракциями от реального мира. Это философская позиция, нередко высказывается в общих чертах, и обычно представляется как генетическое объяснение формирования математических понятий и операций на основе нашего повседневного опыта счета, измерения, сравнения размеров и т.д. Эта общая точка зрения, и многое другое, казалось, подкреплялась расцветом новейших математических дисциплин: фактически, некоторые понятия, функции, уравнения инфинитезимального анализа были «открыты» в стремлении понять и освоить точные физические явления, так что можно было считать, что они были «найдены в природе». Эта идея не так уж и странна: её до сих пор защищают некоторые учёные, которые считают, например, геометрию «первой главой физики», и её почтенными предшественниками были, например, такие известные люди, как Гаусс или Гельмгольц. Часто вспоминают, что Гаусс, несмотря на открытие многих черт неевклидовой геометрии, не хотел публиковать свои результаты (как он пишет в письме Бесселю от 27 января 1827 года), чтобы «избежать криков беотийцев» [невежд], и это воспринимается как своего рода признание трусости. Однако достаточно прочитать еще немного из переписки Гаусса, чтобы найти (в другом письме Бесселю от 9 апреля 1830 года) очень серьезное объяснение его нежелания, где он говорит: «Согласно моему глубочайшему убеждению, теория пространства, насколько нам известно, занимает совершенно иное положение, чем чистая теория величин; ибо нашему знанию первой недостаёт той полной убежденности в ее необходимости (а следовательно, и в ее абсолютной истинности), которая, напротив, присуща второй. Мы должны смиренно признать, что, в то время как число является чисто продуктом нашего разума, пространство обладает реальностью также вне нашего разума, реальностью, для которой мы не можем полностью априори предписать ее законы». Это убеждение в том, что геометрия должна исследовать реальность «вне разума», объясняет, почему Гаусс однажды попытался эмпирически проверить истинность евклидовой геометрии с помощью конкретных геодезических измерений. Что касается Гельмгольца, то полезно понять истинную цель его работы 1868 года «О фактах, на которых основана геометрия», которая, казалось бы, противоречит знаменитой диссертации Римана 1854 года «О гипотезах, на которых основана геометрия». На самом деле Гельмгольц не отстаивает прямо «фактическое» или эмпирическое основание геометрии; тем не менее, он показывает, что если добавить дополнительную гипотезу (физического характера) о существовании твердых тел, способных свободно двигаться и не изменять свою длину при вращении, то формула для ds², которую Риман считал просто правдоподобной «гипотезой», может быть доказана. Конечно, спустя годы Софус Ли смог избежать дополнительных гипотез Гельмгольца, рассмотрев лишь группы преобразований, но неоспоримым остается тот факт, что рассмотрение физических наук как источника математических структур и теорий до сих пор не утратило своей значимости, со всеми вытекающими отсюда онтологическими проблемами.

В заключение уместно сделать еще одно замечание. Подобно тому, как в случае очевидных связей между физическими и математическими теориями были возможны как минимум две разные интерпретации этого факта, так и мнение о том, что математические объекты и теории являются просто порождениями разума, могло получить совершенно разные толкования. В цитируемом отрывке Гаусса прямо признается, что именно благодаря этому факту мы можем достичь в таких областях математики, как арифметика, где это имеет место, полной необходимости и абсолютной истины. Это кажется удивительным только в том случае, если мы не видим в этом утверждении отражения идеи о том, что в этих случаях математика просто является своего рода разделом логики, разделяющим аналитический или априорный характер законов мышления. Эта точка зрения (которая, кстати, прямо отстаивается во вступительных рассуждениях знаменитой работы Дедекинда 1887 года «Was sind und was sollen die Zahlen?» («Очерки по теории чисел») составляет ядро ​​той школы в современной философии математики, которая известна как «логицизм», и наиболее яркими представителями которой были Фреге и Рассел. Уже в рамках этой позиции возможны различные степени онтологической приверженности: например, согласно Гауссу и Дедекинду, подразумевается слабая онтология математических объектов (мы могли бы назвать это «концептуалистической» позицией, если позаимствовать выражение из средневекового спора об универсалиях), тогда как в случае Фреге и Рассела, похоже,  допускается некая форма платонизма.

Другие философы также придерживались этой линии рассуждений. Юм и Вико, например, приписывали математике привилегию быть дисциплиной, наделенной полной достоверностью, но рассматривали это просто как следствие того факта, что математика является продуктом человеческой деятельности, в котором ничего объективно не известно, а все либо постулируется нами в начале, либо логически выводится из таких предпосылок. Это конвенционалистский взгляд на математику, хотя, возможно, и не сформулированный в полной мере.

Причина, по которой мы предприняли вышеприведенный исторический обзор философии математики, заключается в том, что тематическое богатство этой области, по-видимому, резко уменьшилось в нашем столетии. Фактически, философия математики стала весьма специализированной областью и практически отождествилась с так называемыми исследованиями оснований математики. Это привело к довольно распространенному мнению, что философия математики стала самостоятельной областью исследований только в конце прошлого века. Именно в это время проблема оснований математики приобрела драматический характер в результате открытия антиномий во фрегеанской логике и канторовской теории множеств, а также в связи с уже развернувшейся формалистической перспективой, возникшей с созданием неевклидовых геометрий и, в более общем смысле, с «аксиоматической революцией». Это мнение в определенной степени верно. Действительно, интеллектуальная задача, представленная упомянутыми событиями, была настолько глубокой и сложной, что естественным образом поглотила внимание и энергию множества ученых и, благодаря сложным методам, необходимым для решения подобных проблем, вскоре стала узкоспециализированной и (в этом смысле) автономной областью. Единственная официально признанная общность – это общность с математической логикой, поскольку методы, разработанные в рамках этой дисциплины, незаменимы для решения вопросов оснований математики, а исследования оснований математики стимулировали значительные достижения в логике (поэтому очень распространенной дисциплинарной классификацией является «логика и основания математики»). Было бы несправедливо утверждать, что этот вид исследований едва ли можно назвать философским. Действительно, если рассмотреть три основные школы, доминировавшие в исследованиях оснований математики с самого начала (то есть логицизм, формализм и интуиционизм или конструктивизм), легко показать, что каждая из них характеризовалась специфическим философским диагнозом антиномий, предлагавшим соответствующую терапию для них, и что любой такой философский подход подразумевал специфическую позицию в отношении онтологии математических объектов, а также специфическую философскую концепцию взаимоотношений между логикой и математикой. Всё это настолько хорошо известно, что нам не нужно вдаваться в подробности, чтобы доказать это здесь. Тем не менее, можно осмелиться сказать, что это развитие повлекло за собой одновременно колоссальное расширение инструментов и значительное сужение сферы философии математики. Другими словами, исследования оснований математики, безусловно, являются заметной частью философии математики, но они не могут её исчерпать, по крайней мере, в той мере, в какой они понимаются в соответствии с проблематичными моделями, которые характеризовали её в начале нашего века и которые, кажется, трудно преодолеть даже сегодня.

Неприятным следствием этой ситуации является то, что философия математики сегодня часто считается почти мертвой, поскольку после великого поворотного момента, представленного теоремой Гёделя о неполноте, ни одна из фундаментальных «школ» не смогла возобладать и решить Grundlagenkrisis (кризис оснований), что в конечном итоге привело к их делегитимации. Однако это ни в коем случае не является правильным анализом ситуации, поскольку, даже оставаясь в рамках традиционных направлений, можно увидеть определенное продолжение их подходов в соответствующим образом модифицированных версиях. Так, например, если логицизм постепенно исчез (или, в некотором смысле, превратился в идею теоретико-множественного основания математики), то сохранилась новая версия формализма, а также конструктивизм. Но появились и другие тенденции, например, структурализм, который подчеркивает центральную роль понятия структуры в математике (и это можно рассматривать также как продолжение формалистской тенденции, хотя и сильно подкрепленное новыми математическими и логическими идеями), или эмпиризм (или квазиэмпиризм), который исходит из несостоятельности традиционных подходов к основаниям математики и противостоит фаллибилистической концепции математики. Другие философские рефлексии о математике возникли в связи с повсеместным использованием компьютеров, и некоторые утверждают, что «удовлетворительная» философия математики должна сегодня объяснить так называемые доказательства с помощью компьютеров, а также замену требования математической точности требованием адекватного приближения.

Однако было бы недостаточно охарактеризовать жизнеспособность философии математики в наши дни, просто подчеркивая ее связи со школами исследований оснований математики или определенной реакцией на них. На самом деле, то, что делает философию математики сегодня достойной интереса и изучения, — это новые перспективы, открывшиеся в отношении некоторых традиционных вопросов. Например, отношения между математикой и логикой значительно изменились благодаря определенному перевороту подхода, который долгое время доминировал в этой области и заключался в принятии за данность так называемой классической логики (хотя и в ее современных версиях математических логических систем) и попытке справиться с фундаментальными проблемами, опираясь на нее. Распространение неклассических логик показало, что открываются совершенно новые возможности, особенно с учетом того, что (в этой перспективе) сама логика представляется гибкой и зависимой, по крайней мере до определенной степени, от области, в которой она применяется. Теория категорий предоставила мощную математическую основу для подкрепления этой точки зрения и одновременно заложила новую базу для исследования оснований, в некотором смысле заменив ортодоксальную точку зрения, рассматривавшую теорию множеств как естественное основание для математики. Насколько всё это является «философским»? Безусловно, проблема взаимосвязей между логикой, математикой и онтологией (которые заложены в только что упомянутых вопросах) носит подлинно философский характер. Но легко можно также убедиться, что более традиционные философские проблемы всё ещё живы и обсуждаются: например, полемика между структуралистской и онтологической концепциями множеств непосредственно связана с проблемой онтологического статуса математических объектов.

Тем не менее, если оставаться в рамках этой концепции, являющейся продолжением уже упомянутой «автономии» и специализации современной философии математики, невозможно преодолеть то ограничение сферы, о котором мы говорили. Для этого необходимо расширить рассмотрение до своего рода «среды» математики, а это, прежде всего, означает повторное рассмотрение ее в целом, попытку понять, что она собой представляет. Вернемся ли мы тогда к «вечному» вопросу: «Что такое математика?» В некотором смысле да, но философские вопросы вечны не потому, что они праздны, бессмысленны или неразрешимы, а потому, что они касаются постоянно меняющейся реальности. Заметьте, что даже физика до сих пор задает вечный вопрос: «Каковы элементарные составляющие материи?», вопрос, восходящий к досократовским греческим философам, но задаваемый с полным осознанием самых последних физических открытий и теорий. Точно так же вопрос о природе математики должен подниматься снова и снова на разных этапах развития этой науки, с полным осознанием новшеств, которые подразумевают ее формы и содержание. Второй аспект этой среды представлен растущей и, по сути, повсеместной применимостью математики. Этот факт на протяжении веков был источником глубоких философских дебатов и, как мы видели, подразумевает рассмотрение онтологических вопросов, отличных от вопросов, касающихся внутренней онтологии математических объектов, а также ряда эпистемологических проблем. Здесь снова новые математические теории, новые концепции математики, новые перспективы, открываемые математической логикой, и новые эпистемологии относительно природы эмпирических наук требуют обновления ряда традиционных подходов и позволяют глубже понять многие «классические» проблемы.