Предисловие к сборнику статей "Philosophy of mathematics today". 1997. Часть 2. Краткое содержание.

[alevlakam]

Конечно, представленные в этом томе статьи не охватывают все философские вопросы, поставленные современной математикой. Однако дух данной книги состоит в том, чтобы дать представление о философии математики, понимаемой в той широте видения, о которой говорилось выше. Том разделен на три части, соответствующие трем проблемным областям, описанным выше (то есть, общие философские перспективы, подходы к основаниям математики, применимость математики), за которыми следуют две исторические статьи. Очевидно, что рассматриваются лишь некоторые темы, входящие в эти области, но они рассматриваются с совершенно разных точек зрения, так что можно получить представление об их сложности. Представив достаточно детально различные вопросы, входящие в философию математики, мы считаем, что нам не нужно подробно излагать содержание каждой статьи, и ограничимся очень кратким упоминанием наиболее важных моментов.

Первая часть, «Философские перспективы», открывается статьей Ф. Мирó Кесады (F. Miró Quesada) «Логика, математика, онтология» («Logic, Mathematics, Ontology»), в которой представлено очень богатое и четкое описание взаимосвязей, характеризовавших развитие логики и математики на протяжении истории, приводивших к новаторским изменениям и созданию новых направлений исследований. Хотя в обсуждении также рассматриваются древние этапы этого пути, наиболее интересная часть посвящена современным разработкам, которые обычно игнорируются теми, кто считает, что философия математики практически завершилась после Гёделя. В частности, должное внимание уделяется теории категорий и категориальной логике, а также распространению неклассических логик. Философский интерес таких новшеств заключается в той связи, которую они демонстрируют между логикой и онтологией, будь то в том смысле, что логика оторвана от какой-либо онтологии, или в том смысле, что логика зависит от содержания и соответствует различным онтологиям. Для обоснования этого обсуждения используется, в частности, теория категорий, но также выдвигаются и другие соображения. В частности, утверждается, что две теории — нонеизм и теория категорий — привели к рассмотрению логики как зависящей от содержания. Действительно, в рамках теории топосов Лоувер показал, что каждый топос имеет свою внутреннюю логику, которая определяется структурой топоса. Поскольку логика традиционно считалась онтологически стерильной, это проливает новый свет на взаимосвязь логики и онтологии. Хотя автор полностью принимает такое размножение логик, он пытается выделить определенные черты, необходимые для того, чтобы признать данную формальную систему «логикой» (а не просто формальной игрой). Эта статья является оптимальным введением к остальной части тома, поскольку в ней рассматриваются многие темы, которые затрагиваются и подробно излагаются в нескольких последующих статьях.

В современной философии математики определённая новизна заключается в том, что некоторые авторы всерьёз отвергают то, что на протяжении всей истории считалось наиболее неоспоримой характеристикой этой науки, а именно её абсолютную достоверность. Действительно, эту характеристику не отрицали даже защитники конвенционалистского взгляда на математику (поскольку для них такая достоверность была лишь «внутренней» чертой математики, не претендующей на истинность). В настоящее время, напротив, появилась интерпретация математики, которая приписывает ей почти те же черты, что и естественным наукам. Эта тема рассматривается в статье М. Борга (M. Borga) «От достоверности к подверженности ошибкам в математике?» («From Certainty to Fallibility in Mathematics?»), посвящённой частично историческому анализу эмпиризма (или квазиэмпиризма) в математике. Автор рассматривает, в частности, отношение к проблеме непротиворечивости, которая играет важную роль в мнении эмпиристов, согласно которому математика «утратила свою достоверность» и ставится на один уровень с обычными эмпирическими науками (в соответствии с подходом, вдохновленным Поппером, который был предложен Лакатосом и в настоящее время поддерживается несколькими учеными). Против этого мнения он выступает, противопоставляя ему некоторые проблемы оснований, представляющие философский интерес, а также некоторые частичные реализации программы Гильберта, и утверждает, что еще есть место для исследований оснований математики и для философии математики, отличной от эмпиризма.

Статья Марио Бунге (M. Bunge) «Умеренный математический фикционализм» («Moderate Mathematical Fictionism») представляет собой анализ математического «фикционизма» (или «фикционализма») как альтернативы классической философии математики. Ее центральный тезис заключается в том, что все математические идеи являются фикциями, хотя, конечно, не произвольны. Следовательно, они логически нейтральны. Это утверждение подкрепляется применением теории референции автора (в отличие от теории экстенсии), которая кратко изложена. Также отмечаются различия между математическими и художественными фикциями, и приводится список характеристик, достаточных для проведения такого различия. В частности, рассматривается вопрос применимости математики, который решается с помощью инструментов указанной теории референции. Затем указываются  резкие отличия фикционализма от конвенционализма, и, наконец, утверждается, что умеренный математический фикционализм стоит выше полемики идеализма/материализма, за исключением того, что он несовместим с платоновским вариантом идеализма.

Математика часто рассматривается как совокупность знаний, по существу независимая от языковых формулировок, в том смысле, что, как только содержание этих знаний усвоено, остается лишь проблема профессиональных навыков, а именно — четкого формулирования и правильного доказательства этих знаний. Однако вопрос не так прост, и в статье П. Вайнгартнера (P. Weingartner) «Зависимость результатов в логике и математике от языка и кодирования» («Language and Coding-Dependency of Results in Logic and Mathematics») рассматриваются некоторые результаты в логике и математике, которые показывают, что определенные понятия в общем случае не инвариантны относительно различных вариантов языка и процессов кодирования. Приводятся пять примеров: 1) Обоснованность (validity) аксиом и правил классической пропозициональной логики зависит от интерпретации пропозициональных переменных; 2) Языковая зависимость правдоподобия; 3) Доказательство слабых и сильных антииндуктивистских теорем в теории индуктивного обоснования (inductive support) Поппера не инвариантно относительно ограничивающих критериев, предъявляемых к классической логике; 4) Языковая зависимость понятия доказуемости; 5) Языковая зависимость существования необоснованных и парадоксальных предложений (в смысле Крипке).

Требования логической строгости и непротиворечивости — не единственные критерии для принятия и оценки математических утверждений и теорий. Аналогичная ситуация в области эмпирических наук широко обсуждалась в последние годы (особенно в связи с вопросом сравнения теорий), и подчеркивалось, что ряд так называемых «эпистемических добродетелей», таких как простота, причинно-следственная связь, плодотворность предсказаний и т. д., играют значительную роль, когда теории (или гипотезе) отдается предпочтение перед ее конкурентами. Нечто подобное происходит и в математике, хотя этот вопрос практически не исследуется в философии этой науки. Среди эпистемических добродетелей, часто упоминаемых в трудах математиков, таких как элегантность, простота, глубина, статья Г. Грейнджера «Что такое глубокий результат в математике?» («What is a Profound Result in Mathematics?») пытается дать правдоподобную и точную характеристику понятия глубины (depth) или глубины (profundity) [?]. Он, не претендуя на то, что эта типология имеет реальную систематическую ценность, выделяет три типичных показателя глубины (depth) математического результата или (открытой) проблемы. В первом случае главной чертой является непрозрачность и неожиданный характер следствий. Второй случай касается результатов, которые заслуживают того, чтобы называться глубокими, поскольку они позволяют связать ранее полученные и разрозненные факты с более общей теорией. В третьем смысле глубокий результат — это «странно выглядящий» факт, открывающий возможность создания новой области объектов, в которой аномалия объясняется обновлением области, на которой основывалась предыдущая теория. Эта типология сопровождается подробным обсуждением некоторых замечательных примеров из истории математики.

Одним из центральных вопросов в нынешней дискуссии об «основаниях» является полемика между структуралистской и онтологической концепциями математики, вопрос, вероятно, обладающий наиболее прямым философским значением, но чьи специфически философские аспекты обычно затмеваются из-за строго технического стиля подобных дискуссий. Косвенный, но элегантный способ подчеркнуть философскую суть этой полемики предлагает статья Р. Тома (R. Thom) «Гилеморфная схема в математике» (The Hylemorphic Schema in Mathematics), центральный тезис которой заключается в том, что классическая схема (schema) аристотелевского гилеморфизма, синтагма (материя и форма), сохраняет определенную актуальность в математике. Однако, вопреки аристотелевскому постулату о том, что форма — ничто без материальной основы, Том утверждает, что в математике материя конструируется посредством усложнения форм, и подкрепляет свое утверждение несколькими примерами. Таким образом, автор приходит к выводу, что, вопреки общепринятому мнению, в математике важны не структуры, а объекты. Таким образом, статья Тома представляет собой своего рода естественный переход от первой, более общей «философской» части этого тома ко второй его части.

Вторая часть посвящена подходам к основаниям математики, и это название призвано показать, что содержащиеся в ней статьи в определенном смысле продолжают дух «исследований оснований математики», которые характеризовали философию математики в течение нашего столетия. Но, разумеется, их интерес заключается именно в том, что они не являются простым продолжением традиционных направлений исследований. Структурализм, в частности, получил особое значение в этой области благодаря созданию теории категорий. Поэтому вполне естественно, что этот раздел начинается со статьи одного из отцов этой теории, в которой кратко излагается ее актуальность для оснований математики. Статья С. Маклейна (S. Mac Lane) «Категориальные основания изменчивого характера математики» («Categorical Foundations of the Protean Character of Mathematics») объясняет, как математика работает с различными видами структур, которые, несмотря на обычный акцент на теорию множеств, представляют собой нечто большее, чем просто множества. Это, скорее, категории. В статье рассматриваются понятия категории и топоса, которые могут послужить основой математики в качестве альтернативы теории множеств Цермело-Френкеля.

То, что лишь вскользь упоминается в работе Маклейна, более подробно иллюстрируется в статье Дж. П. Маркиза (J. P. Marquis) «Теория категорий и структурализм в математике: синтаксические соображения» («Category Theory and Structuralism in Mathematics: Syntactical Considerations»). Ограничение темы статьи, отраженное в названии, объясняется тем, что, согласно структурализму, общепризнано, что объектами математики являются позиции в структурах. Однако этого факта может быть недостаточно для придания теории категорий полной фундаментальной силы, поскольку, как указывает Маркиз, этот факт касается главным образом семантики математических теорий. Но синтаксис сам по себе является структурой, и поэтому возникает проблема, отличается ли синтаксическое измерение теорий (включая теорию категорий) от семантики принципиально, то есть имеем ли мы дело с разными категориями (в аристотелевском смысле этого термина), так что только одна из двух категорий может быть освоена теорией категорий (в современном математическом смысле). Автор утверждает, что у нас есть данные, указывающие на то, что это не обязательно так: теория скетчей (являющаяся частью теории категорий) — пример, где синтаксис и семантика по своей сути не различны.

Таким образом, мы подготовили почву для рассмотрения главных предложений по основаниям математики, характеризующих текущую дискуссию: теоретико-множественного и структуралистского подходов. Их сравнение предлагается в этой книге в виде статей Мюллера и Парсонса соответственно. В статье Г. Х. Мюллера (G. H. Müller) «Рефлексия в теории множеств. Система аксиом Бернайса-Леви» («Reflection in Set Theory. The Bernays-LevyAxiom System») обсуждается особый подход к теории множеств с точки зрения оснований математики. Автор фактически дает «руководство» для эпистемологической мотивации этой теории, которое можно рассматривать как философское обоснование ее построения, основанное на применении «интенсиональных» ходов (то есть интеллектуальных операций, обладающих внутренней правдоподобностью в рамках нашей познавательной деятельности). Это, так сказать, шаг за шагом обосновывает введение новых аксиом и возрастающую сложность в теории множеств не только на математических основаниях, но и как проекцию определенных требований человеческих эпистемологических процедур. Внимание сосредоточено не на системе Цермело-Френкеля, а на улучшенной версии аксиоматизации Бернайса, которая называется системой аксиом Бернайса-Леви и имеет существенные преимущества перед системой Цермело-Френкеля. В конце своего подробного анализа автор рассматривает проблему понимания принципа высшей рефлексии, применяемого к интенсионально заданным классам, поскольку он необходим для введения очень больших кардинальных чисел.

В статье К. Парсонса (C. Parsons) «Структурализм и концепция множества» («Structuralism and the Concept of Set») тщательно анализируются несколько возможных возражений, которые были (или могут быть) выдвинуты против структурализма или, точнее, как указывает сам автор, против структуралистского взгляда на математические объекты. Поскольку некоторые способы формулировки структуралистского взгляда опираются на понятие множества (понятие структуры обычно понимается в терминах теории множеств), это, кажется, противоречит предложению структурализма как общей концепции математики, включая множества, поскольку структуралистский взгляд на теорию множеств породил бы некоторую замкнутость. Автор подробно анализирует эти возражения против структуралистского взгляда на теорию множеств и утверждает, что они необоснованны, приходя к выводу, что, путем тщательного исследования того, насколько объективна теория множеств, можно защитить структуралистский взгляд от онтологического взгляда.

Как мы уже отмечали в предварительном обсуждении, даже традиционные (то есть, если говорить кратко, до-гёделианские) программы обоснования математики на самом деле не исчезли, и это не только в том смысле, что их «дух» сохраняется в некоторых современных подходах, но и в том смысле, что они все еще развиваются и продолжаются, хотя и в соответствующим образом модифицированных формах. Это можно увидеть, например, на примере обсуждения знаменитой программы Гильберта в статье В. Зига (W. Sieg) «Аспекты математического опыта» («Aspects of Mathematical Experience»). Хотя название может наводить на мысль, что статья поддерживает «эмпирический» взгляд на математику, на самом деле она в основном касается эпистемологического значения некоторых теоретико-доказательных результатов исследования непротиворечивости математических теорий. Внимание сосредоточено на двух аспектах математического опыта: (i) квазиконструктивном аспекте, который связан с доступными областями теорий обоснования математики, и (ii) концептуальном аспекте, который, напротив, имеет дело с абстрактными структурами для математической практики. Основная идея состоит в поиске структурных редукций абстрактных концепций к доступным областям. Автор рассматривает (оригинальную) программу Гильберта и её модифицированные формы, учитывающие теоремы Гёделя. В частности, он занимается доказательствами непротиворечивости импредикативных (под)систем арифметики второго порядка.

Второй пример — логицизм, который обычно считается мертвым и, в лучшем случае, замененным в качестве жизнеспособной программы обоснования математики теоретико-множественным подходом. Однако статья А. Исимото (A. Ishimoto) «Переосмысление логицизма в пропозициональном фрагменте онтологии Лесневского» («Logicism Revisited in the Propositional Fragment of Lesniewski's Ontology») уже в своем названии выражает иную позицию. Логицизм (в смысле Фреге и Рассела), по мнению Исимото, был первой попыткой объявить арифметику инвариантно обоснованной (valid) для любой модели, включающей бесконечное число индивидов. Цель обсуждения автора — локализовать эту инвариантность в более элементарной части логики, а именно в пропозициональном фрагменте онтологии Лесневского. С помощью необходимых технических аргументов автор показывает, что предложенная им несколько лет назад система инвариантна относительно любой модели, включающей или не включающей квазииндивидуальные (individual-like) имена, и из этого факта делает определенные выводы, которые равносильны оправданию логицизма, интерпретируемого в духе концептуального реализма.

Третья часть этого тома посвящена теме применимости математики, которая уже периодически упоминалась в некоторых предыдущих статьях, но здесь рассматривается более непосредственного. Наиболее простое решение этой проблемы может быть найдено на основе двух противоположных позиций. Первая утверждает, что «реальный мир» обладает внутренней математической структурой (поэтому неудивительно, что математика широко применима для его исследования); вторая утверждает, что математика — это просто система формализмов или структур, лишенных какого бы то ни было содержания, но поддающихся интерпретации в любой предметной области (и, в частности, также в области конкретных объектов). Первое решение опирается на недоказанный и слишком сложный метафизический постулат. Второе же довольно неполноценно, поскольку недостаточно объясняет, почему определенные математические теории (уже разработанные независимо от каких-либо физических исследований) оказываются подходящими для определенных областей конкретных объектов. Другими словами, философски интересный вопрос здесь заключается в установлении взаимосвязи между двумя различными онтологическими уровнями: уровнем математических объектов и уровнем конкретных объектов. Даже если не занимать определенной позиции относительно онтологического статуса математических объектов (то есть, независимо от того, платоник вы, конструктивист или кто-то еще), несомненно, что такие объекты обладают своего рода «существованием», отличным от существования конкретных объектов, и все же эти две онтологические области демонстрируют поразительное сходство (или, возможно, структурное тождество).

Этот общий вопрос рассматривается в статье Э. Агацци (E. Agazzi) «Применение математики к другим наукам» («The Application of Mathematics to Other Sciences»), в которой математика рассматривается, с одной стороны, как система «теорий», а с другой — как система «языков». Поскольку термин «теория» обычно используется для обозначения любой математической дисциплины, предлагается называть теориями в собственном смысле (или «конкретными теориями») те разделы математики, которые, по крайней мере, предположительно и согласно распространенному мнению специалистов в этих разделах, исследуют свойства определенных точных математических объектов (таких как натуральные, действительные или комплексные числа, функции, пространства), а «языками» (или «абстрактными теориями») — те разделы математики (такие как абстрактная алгебра или топология), которые сознательно конструируются с целью определения и исследования некоторых общих «пустых» структур, не имеющих точной «желаемой модели» (intended model) в самой математике. Разумность такого различения доказывается рассмотрением некоторых результатов математической логики (а именно, результатов о семантической неполноте и о несостоятельности категоричности), в которых можно обнаружить свидетельства определенной «неточности» языка (то есть формализованной аксиоматической системы) по отношению к предполагаемым объектам, что было бы вряд ли оправдано, если бы язык охватывал все указанные теории. После признания этого факта применимость таких конкретных (математических) теорий в изучении определенных конкретных (например, физических) объектов объясняется тем, что эта конкретная область может оказаться изоморфной (или, по крайней мере, гомеоморфной) области рассматриваемой конкретной (математической) теории. Также показано, что это отнюдь не простое (straightforward) или элементарное условие. Разумеется, абстрактные математические теории, которые в принципе можно понимать как языки, могут справиться с этой задачей даже лучше и, благодаря своей известной гибкости, могут быть использованы даже для математизации еще не исследованных конкретных областей, поскольку некоторые из них могут быть построены именно с учетом такого применения.

Эта общая точка зрения в определённом смысле иллюстрируется статьей физика. Работа Г. М. Проспери (G. M. Prosperi) «Математика и физика» («Mathematics and Physics») в основном посвящёна следующему вопросу: «С точки зрения профессионального физика, какую математику мы сейчас можем использовать в физике?». В некотором смысле ответ прост: математический язык должен быть обнаружен или, если хотите, создан. Это неотъемлемая часть физических теорий. Иногда, например, как в случае с работой Дирака, в результате создаются новые разделы математики, и это подтверждает, что никакой привилегированный раздел математики не может быть указан как подходящий инструмент для физики.

Однако такая строгая «единосущность» (consubstantiation) математики и физики порождает ряд интересных проблем, которые с онтологической точки зрения можно рассматривать как вопрос о том, как избежать коллапса физики в математику: риск, который отнюдь не является только гипотетическим, как показывают утверждения философов науки или даже ученых, которые утверждают, что элементарные частицы, например, являются не чем иным, как математическими конструкциями (вспомним также знаменитое утверждение Герца: электромагнитное поле — это просто система уравнений Максвелла).

Статью Э. Шайбе (E. Scheibe) «Математическая избыточность физики» («The Mathematical Overdetermination of Physics») можно рассматривать как технический вклад в прояснение этой философской проблемы. В самом деле, это анализ того, что можно назвать «математической» избыточностью физической теории. Это нечто вроде «теоретической» избыточности корпуса наблюдательных данных (ситуация, широко обсуждаемая и даже чересчур высоко оцениваемая во многих современных работах по философии науки). Поскольку физическая теория часто имеет излишне сложную структуру (по сравнению с эмпирическими данными, которые она призвана объяснять), используемая в ней математика может содержать элементы, не имеющие физической интерпретации. Упоминаются три основных подхода к математической избыточности физики: пифагорейская традиция (возрожденная Галилеем), подход Бриджмена (в основном в отношении квантовой теории) и, наконец, идея исключения некоторой (ненужной) математики из физических теорий. Автор разделяет третью точку зрения, по крайней мере, в той степени, в какой она представляет собой попытку прояснить роль математики в физике. В статье рассматриваются главным образом две проблемы, связанные с указанной целью: (1) возможные логические рамки систематизации физической теории; (2) исключение или, наоборот, введение какого-нибудь раздела математики на основе одной конкретной рамки систематизации, а именно теории множеств.

Современные физические теории широко используют не только очень сложные математические теории, но и математическую логику (по крайней мере, неявно), как ясно показывает недавняя история квантовой теории. Этот факт может иметь неожиданные последствия, поскольку результаты математической логики могут вызывать трудности, которые не очевидны строго с точки зрения её математического подхода. В статье Д. Мундичи (D. Mundici) «Неполнота по Гёделю и квантовые термодинамические пределы» («Gödel's Incompleteness and Quantum Thermodynamic Limits») рассматриваются некоторые взаимосвязи между логикой и квантово-механическими системами (их алгебраической формулировкой). В алгебраическом подходе к квантовым статистическим системам широко распространено мнение, что, как выразился Д. Кастлер, «природа не имеет идеалов», то есть алгебры, описывающие природные системы, свободны от факторструктур. Главная цель автора — проанализировать это утверждение и связать его с понятием неполноты по Гёделю. В основе лежит некоммутативная логика, возникающая из интерпретации AF C*-алгебр в бесконечнозначном сентенциальном исчислении Лукасевича. Предлагаемый вывод заключается в том, что природа, возможно, может обойтись без идеалов только в том случае, если откажется от теоремы Гёделя о неполноте.

Наиболее впечатляющие примеры применения математики реализованы в физике (по причинам, которые обсуждаются в статье Агацци, рассмотренной выше). В биологии, например, использование сложных математических инструментов не имеет особого значения. Однако в этой науке отчетливо видна другая важная роль математики, а именно, то, что она предоставляет полезные структурные «модели». Этот факт поднимает обычный вопрос о связи моделей с набором эмпирических данных, и в биологии это, по-видимому, играет бóльшую роль, чем в физике. Статья Ж.Рикара и К. Рикар (Jacques Ricard & Käty Ricard) "Математические модели в биологии" («Mathematical Models in Biology») как раз и посвящена этой теме. На основе анализа нескольких примеров обсуждаются следующие вопросы: (1) Первичность или вторичность (anteriority or posteriority) модели относительно набора экспериментальных данных; (2) Редукционистский или органицистский характер модели; (3) Стремление к простоте и эстетике модели; (4) Инвариантность моделей в рамках изменяющегося мира.

Довольно распространено мнение, что математизация может быть полезна лишь в определенных областях исследований, которым в этом повезло. Это мнение оспаривается в статье Х. Мостерина (J. Mosterín) «Натуральные числа как универсальная библиотека», (The Natural Numbers as Universal Library) чей интригующий тезис состоит в том, что всё может быть (по крайней мере, в определенном смысле) математизировано, поскольку не существует ни одного объекта, который (после соответствующей формулировки или описания) не мог бы быть численно закодирован в смысле известной нумерации Гёделя, так чтобы с ним можно было связать уникальное натуральное число. Объяснив разницу между различными системами счисления и выбрав для рассмотрения позиционные системы счисления, автор выдвигает главный тезис о том, что натуральные числа представляют собой своего рода «универсальную библиотеку», поскольку с помощью подходящих систем счисления можно увидеть, что организм, книга, музыкальное произведение или изображение могут быть закодированы с помощью натуральных чисел. Он демонстрирует, что это действительно возможно, используя, соответственно, систему нумерации ДНК, систему нумерации английского алфавита, систему нумерации музыкальных произведений (версия на CD) и систему нумерации состояний пикселей.

Статья Д. Дарваша (G. Darvas) «Принципы математической симметрии в научном мировоззрении» (Mathematical Symmetry Principles in the Scientific World View), завершающая этот раздел, не обсуждает хорошо известную (и, следовательно, с философской точки зрения, не особенно интересную) тему математического изучения симметрий. Она, скорее, рассматривает всеобщность применения концепции симметрии как аналогию с универсальной применимостью математики, что может философски прояснить их родство. Эта повсеместность симметрии и её междисциплинарное значение кратко рассматриваются в статье с указанием множества исторических и современных примеров.

Хотя в ряде предыдущих работ уже были некоторые исторические замечания (а некоторые из них даже содержали значительные исторические фрагменты), две статьи носят явно исторический характер, хотя, разумеется, делают упор на философские вопросы, обсуждаемые в этом томе. Они содержатся в последней части тома: «Исторические соображения».

Основная тема статьи К. Хаваша (K. Havas) «Математика и логика. Венгерские традиции и философия неклассической логики» («Mathematics and Logics. Hungarian Traditions and the Philosophy of Non-Classical Logic») — плюралистический взгляд на математику, понимаемый как концепция, допускающая существование различных типов математики. Этот плюралистический взгляд имеет замечательную традицию в Венгрии и восходит к Яношу Бойяи. Автор анализирует взгляды Бойяи в области геометрии, а также плюралистические взгляды фон Неймана в рамках логики. Подчеркивается параллелизм между взаимосвязью евклидовой и неевклидовой геометрий, с одной стороны, и взаимосвязью классической и неклассической логики, с другой, где рассматриваются примеры из релевантной, многозначной и параконсистентной логики. Статья завершается анализом математического существования в рамках венгерской традиции (с цитатами из фон Неймана, Петера, Реньи, Беке и Кальмара).

В статье Г. Хайнцмана (G. Heinzmann) «Umfangslogik, Inhaltslogik, Теорематическое рассуждение» («Umfangslogik, Inhaltslogik, Theorematic Reasoning») рассматривается Inhaltslogik («Логика содержания») Гуссерля и теорематическое рассуждение Пирса. Термин «Inhaltslogik» использовался Гуссерлем для противопоставления методов алгебраической логики дедуктивному языку, задуманному как продолжение естественного рассуждения. Гуссерлю удалось обнаружить некоторые технические несоответствия в современных системах алгебраической логики (например, отождествление Шрёдером принадлежности и включения), но он не дал точного определения своей логики содержания. Пуанкаре также защищал «логику содержания», но его целью было соединение математической строгости с локальным языком, связывающим посылки с выводами посредством «математической архитектуры». Тем не менее, предложение Пуанкаре осталось несколько расплывчато определенным. Автор (на основе подробного анализа) утверждает, что «теоретические рассуждения» Пирса могут быть использованы для удобного объяснения метафорически сформулированного предложения Пуанкаре.